Monday, January 7, 2013

linear dan matriks

Persamaan Linear & Matriks

Persamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan:
3x1 + 4x2 − 2 x3 = 5
x1 − 5x2 + 2x3 = 7
2x1 + x2 − 3x3 = 9
dapat dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut
\begin{bmatrix}
3 & 4 & -2 & 5\\
1 & -5 & 2 & 7\\
2 & 1 & -3 & 9\\
\end{bmatrix}
Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik.
Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai bentuk :
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0
Setiap sistem persamaan linier yang homogen bersifat adalah tetap apabila semua sistem mepunyai x1 = 0 , x2 = 0 , ... , xn = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial. Apabila mempunyai penyelesaian yang lain maka disebut solusi nontrivial.

Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks

 


Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :
1.) Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).
2.) Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.
3.) Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.
4.) Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi
Contoh: syarat 1: baris pertama disebut dengan leading 1
\begin{bmatrix}
1 & 4 & -2 & 5\\
0 & -5 & 2 & 7\\
0 & 0 & -3 & 9\\
0 & 0 & -8 & 8\\
\end{bmatrix}
syarat 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2
\begin{bmatrix}
1 & 4 & -2 & 5\\
0 & -5 & 2 & 7\\
0 & 0 & -3 & 9\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}
syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3
\begin{bmatrix}
1 & 4 & -2 & 5\\
0 & 1 & 2 & 7\\
0 & 0 & -3 & 9\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}
syarat 4: matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut Eselon-baris tereduksi
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 2 & 5\\
0 & 0 & 3 & 0\\
0 & 0 & 0 & 6\\
\end{bmatrix}
Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
Contoh: Diketahui persamaan linear
x + 2y + z  = 6
x + 3y + 2z = 9
2x + y + 2z = 12
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 6\\
1 & 3 & 2 & 9\\
2 & 1 & 2 & 12\\
\end{bmatrix}
Operasikan Matriks tersebut
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 6\\
1 & 3 & 2 & 9\\
2 & 1 & 2 & 12\\
\end{bmatrix} B1 x 1 ,. Untuk mengubah a11 menjadi 1
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 6\\
0 & 1 & 1 & 3\\
2 & 1 & 2 & 12\\
\end{bmatrix} B2 - 1.B1 ,. Untuk mengubah a21 menjadi 0
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 6\\
0 & 1 & 1 & 3\\
0 & -3 & 0 & 0\\
\end{bmatrix} B3 - 2.B1 ,. Untuk mengubah a31 menjadi 0
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 6\\
0 & 1 & 1 & 3\\
0 & -3 & 0 & 0\\
\end{bmatrix} B2 x 1 ,. Untuk mengubah a22 menjadi 1
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 6\\
0 & 1 & 1 & 3\\
0 & 0 & 3 & 9\\
\end{bmatrix} B3 + 3.B2 ,. Untuk mengubah a32 menjadi 0
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 & 6\\
0 & 1 & 1 & 3\\
0 & 0 & 1 & 3\\
\end{bmatrix} B3 x 1/3 ,. Untuk mengubah a33 menjadi 1 (Matriks menjadi Eselon-baris)
Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu
x + 2y + z = 6
y + z      = 3
z          = 3
Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:
y + z = 3
y + 3 = 3
y = 0
x + 2y + z =6
x + 0 + 3 = 6
x = 3
Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3
Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.
Contoh: Diketahui persamaan linear
x + 2y + 3z = 3
2x + 3y + 2z = 3
2x + y + 2z = 5
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 3\\
2 & 3 & 2 & 3\\
2 & 1 & 2 & 5\\
\end{bmatrix}
Operasikan Matriks tersebut
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 3\\
0 & -1 & -4 & -3\\
2 & 1 & 2 & 5\\
\end{bmatrix} Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 3\\
0 & -1 & -4 & -3\\
0 & -3 & -4 & -1\\
\end{bmatrix} Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 3\\
0 & -1 & -4 & -3\\
0 & 0 & 8 & 8\\
\end{bmatrix} Baris ke 3 dikurangi 3 kali baris ke 2
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 3\\
0 & 1 & 4 & 3\\
0 & 0 & 1 & 1\\
\end{bmatrix} Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 3\\
0 & 1 & 0 & -1\\
0 & 0 & 1 & 1\\
\end{bmatrix} Baris ke 2 dikurangi 4 kali baris ke 3
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & -1\\
0 & 0 & 1 & 1\\
\end{bmatrix} Baris ke 1 dikurangi 3 kali baris ke 3
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 2\\
0 & 1 & 0 & -1\\
0 & 0 & 1 & 1\\
\end{bmatrix} Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi Eselon-baris tereduksi)
Maka didapatkan nilai dari x = 2 , y = -1 ,dan z = 1

Dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama.
Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika k sebarang skalar maka kA = A k adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k. Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0. Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks :
a.) A + B = B + A
b.) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
c.) k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalar
Hasil kali matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang berordo p x n dapat dituliskan sebagi matriks C = [ cij ] berordo m x n dimana cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aip bpj

JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A^{-1} ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan A = B^{-1}. Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.
Matriks A = \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{bmatrix} dapat di-invers apabila ad - bc ≠ 0
Dengan Rumus =
A^{-1} = \frac{1} {ad-bc}\begin{bmatrix}
d & -b \\
-c & a \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\frac{d} {ad-bc} & -\frac{b} {ad-bc} \\
-\frac{c} {ad-bc} & \frac{a} {ad-bc} \\
\end{bmatrix}
Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}

Contoh 1:
Matriks
A = \begin{bmatrix}
2 & -5 \\
-1 & 3 \\
\end{bmatrix} dan B = \begin{bmatrix}
3 & 5 \\
1 & 2 \\
\end{bmatrix}
AB = \begin{bmatrix}
2 & -5 \\
-1 & 3 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
3 & 5 \\
1 & 2 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix} = I (matriks identitas)
BA = \begin{bmatrix}
3 & 5 \\
1 & 2 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2 & -5 \\
-1 & 3 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix} = I (matriks identitas)
Maka dapat dituliskan bahwa B = A^{-1} (B Merupakan invers dari A)

Contoh 2:
Matriks
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix} dan B = \begin{bmatrix}
2 & 5 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}
AB = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2 & 5 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
3 & 4 \\
6 & 8 \\
\end{bmatrix}
BA = \begin{bmatrix}
2 & 5 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
17 & 21 \\
15 & 19 \\
\end{bmatrix}
Karena AB ≠ BA ≠ I maka matriks A dan matriks B disebut matriks tunggal.

Contoh 3:
Matriks
A = \begin{bmatrix}
3 & 1 \\
5 & 2 \\
\end{bmatrix}
Tentukan Nilai dari A-1
Jawab:
A^{-1} =\frac{1} {(3)(2)-(5)(1)}\begin{bmatrix}
2 & -1 \\
-5 & 3 \\
\end{bmatrix} = \frac{1} {6-5}\begin{bmatrix}
2 & -1 \\
-5 & 3 \\
\end{bmatrix} = \frac{1} {1}\begin{bmatrix}
2 & -1 \\
-5 & 3 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
2 & -1 \\
-5 & 3 \\
\end{bmatrix}

Contoh 4:
Matriks
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
1 & 3 \\
\end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix}
3 & 2 \\
2 & 2 \\
\end{bmatrix}, AB = \begin{bmatrix}
7 & 6 \\
9 & 8 \\
\end{bmatrix}
Dengan menggunakan rumus, maka didapatkan
A^{-1} = \begin{bmatrix}
3 & -2 \\
-1 & 1 \\
\end{bmatrix}, B^{-1} = \begin{bmatrix}
1 & -1 \\
-1 & \frac{3} {2} \\
\end{bmatrix}, (AB)^{-1} = \begin{bmatrix}
4 & -3 \\
-\frac{9} {2} & 7 \\
\end{bmatrix}
Maka
B^{-1} A^{-1}= \begin{bmatrix}
1 & -1 \\
-1 & \frac{3} {2} \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
3 & -2 \\
-1 & 1 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
4 & -3 \\
-\frac{9} {2} & 7 \\
\end{bmatrix}
Ini membuktikan bahwa (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}

Yang dimaksud dengan Transpose dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris.
Contoh:
Matriks
A = \begin{bmatrix}
2 & -5 & 1\\
-1 & 3 & 3\\
5 & 4 & 8\\
\end{bmatrix} ditranspose menjadi AT = \begin{bmatrix}
2 & -1 & 5\\
-5 & 3 & 4\\
1 & 3 & 8\\
\end{bmatrix}

Matriks
B = \begin{bmatrix}
1 & 3 & 5 & 7\\
9 & 5 & 7 & 4\\
4 & 1 & 5 & 3\\
\end{bmatrix} ditranspose menjadi BT = \begin{bmatrix}
1 & 9 & 4\\
3 & 5 & 1\\
5 & 7 & 5\\
7 & 4 & 3\\
\end{bmatrix}

Rumus-rumus operasi Transpose sebagai berikut:
1. ((A)^T)^T = A
2. (A+B)^T = A^T + B^T dan (A-B)^T = A^T - B^T
3. (kA)^T = kA^T dimana k adalah skalar
4. (AB)^T = B^T A^T

[sunting] Matriks Diagonal, Segitiga, dan Matriks Simetris


[sunting] Matriks Diagonal
Sebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama dari matriks bukan nol dan unsur lainnya adalah nol disebut dengan matriks diagonal. Contoh :
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & -5\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & -5 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}
secara umum matriks n x n bisa ditulis sebagai
\begin{bmatrix}
d_1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & d_2 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots &  & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & d_n\\
\end{bmatrix}

Matriks diagonal dapat dibalik dengan menggunakan rumus berikut :
D^{-1}=\begin{bmatrix}
1/d_1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 1/d_2 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots &  & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & 1/d_n\\
\end{bmatrix}
DD^{-1}=D^{-1}D=I
jika D adalah matriks diagonal dan k adalah angka yang positif maka
D^{k}=\begin{bmatrix}
d_1^k & 0 & \cdots & 0\\
0 & d_2^k & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots &  & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & d_n^k\\
\end{bmatrix}
Contoh :
A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & -3 & 0\\
0 & 0 & 2\\
\end{bmatrix}
maka
A^5=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & -243 & 0\\
0 & 0 & 32\\
\end{bmatrix}

[sunting] Matriks Segitiga
Matriks segitiga adalah matriks persegi yang di bawah atau di atas garis diagonal utama nol. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang di bawah garis diagonal utama nol. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang di atas garis diagonal utama nol.
Matriks segitiga
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
0 & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\
0 & 0 & a_{33} & a_{34}\\
0 & 0 & 0 & a_{44}\\
\end{bmatrix}
Matriks segitiga bawah
\begin{bmatrix}
a_{11} & 0 & 0 & 0\\
a_{21} & a_{22} & 0 & 0\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\\
\end{bmatrix}
Teorema
  • Transpos pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dan transpose pada matriks segitiga atas adalah segitiga bawah.
  • Produk pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan produk pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
  • Matriks segitiga bisa di-inverse jika hanya jika diagonalnya tidak ada yang nol.
  • Inverse pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan inverse pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
Contoh :
Matriks segitiga yang bisa di invers
A =\begin{bmatrix}
1 & 3 & -1\\
0 & 2 & 4\\
0 & 0 & 5\\
\end{bmatrix}
Inversnya adalah
A^{-1}=\begin{bmatrix}
1 & -3/2 & 7/5\\
0 & 1/2 & -2/5\\
0 & 0 & 1/5\\
\end{bmatrix}
Matriks yang tidak bisa di invers
B =\begin{bmatrix}
3 & -2 & 2\\
0 & 0 & -1\\
0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}

[sunting] Matriks Simetris
Matriks kotak A disebut simetris jika A = A^T
Contoh matriks simetris
\begin{bmatrix}
7 & -3 \\
-3 & 5 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 4 & 5\\
4 & -3 & 0\\
5 & 0 & 7\\
\end{bmatrix}
Teorema
  • Jika A dan B adalah matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah skalar maka
A^T adalah simetris A + B dan A - B adalah simetris kA adalah simetris (AB)^T = B^T A^T = BA

Jika A adalah matriks simetris yang bisa di inverse, maka A^{-1} adalah matriks simetris.
Asumsikan bahwa A adalah matriks simetris dan bisa di inverse, bahwa A = A^T maka :
(A^{-1})^T = (A^T)^{-1} = A^{-1}
Yang mana membuktikan bahwa A^{-1} adalah simetris.

Produk AA^T dan A^TA
 (AA^T)^T =  (A^T)^TA^T = AA^T dan (A^TA)^T = A^T(A^T)^T = A^TA
Contoh
A adalah matriks 2 X 3
A = \begin{bmatrix}
1 & -2 & 4\\
3 & 0 & -5\\
\end{bmatrix}
lalu
 A^TA = \begin{bmatrix}
1 & 3 \\
-2 & 0\\
4 & -5 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & -2 & 4\\
3 & 0 & -5\\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
10 & -2 & 11\\
-2 & 4 & -8\\
-11 & -8 & 41\\
\end{bmatrix}

AA^T = \begin{bmatrix}
1 & -2 & 4\\
3 & 0 & -5\\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
-2 & 0\\
4 & -5 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
21 & -17 \\
-17 & 34\\
\end{bmatrix}
Jika A adalah Matriks yang bisa di inverse, maka AA^T dan A^TA juga bisa di inverse

[sunting] Determinan

Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.
Sebagai contoh, kita ambil matriks A2x2
A = \begin{bmatrix}     
a & b\\
c & d\\
\end{bmatrix} tentukan determinan A
untuk mencari determinan matrik A maka,
detA = ad - bc

[sunting] Determinan dengan Ekspansi Kofaktor


[sunting] Determinan dengan Minor dan kofaktor

A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
 a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{bmatrix} tentukan determinan A
Pertama buat minor dari a11
M11 = \begin{bmatrix}
a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{bmatrix} = detM = a22a33 x a23a32
Kemudian kofaktor dari a11 adalah
c11 = (-1)1+1M11 = (-1)1+1a22a33 x a23a32
kofaktor dan minor hanya berbeda tanda Cij=±Mij untuk membedakan apakah kofaktor pada ij adalah + atau - maka kita bisa melihat matrik dibawah ini
\begin{bmatrix}
+&-&+&-&+&\cdots\\
-&+&-&+&-&\cdots\\
+&-&+&-&+&\cdots\\
-&+&-&+&-&\cdots\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots& \\
\end{bmatrix}
Begitu juga dengan minor dari a32
M32 = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{13}\\
a_{21} & a_{23}\\
\end{bmatrix} = detM = a11a23 x a13a21
Maka kofaktor dari a32 adalah
c32 = (-1)3+2M32 = (-1)3+2 x a11a23 x a13a21
Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah
det(A) = a11C11+a12C12+a13C13

[sunting] Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama

Misalkan ada sebuah matriks A3x3
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{bmatrix}
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(A) = a11\begin{bmatrix}a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{bmatrix} - a12\begin{bmatrix}a_{21} & a_{23}\\
a_{31} & a_{33}\\
\end{bmatrix} + a13\begin{bmatrix}a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}\\
\end{bmatrix}
= a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32
Contoh Soal:
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 4\\
3 & 2 & 1\\
\end{bmatrix} tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama
Jawab:
det(A) = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 4\\
3 & 2 & 1\\
\end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix} 5 & 4\\2 & 1\\ \end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix} = 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8

[sunting] Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.
Misalkan ada sebuah matriks A3x3
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
\end{bmatrix}
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(A) = a11\begin{bmatrix}a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}\\
\end{bmatrix} - a21\begin{bmatrix}a_{21} & a_{23}\\
a_{31} & a_{33}\\
\end{bmatrix} + a31\begin{bmatrix}a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}\\
\end{bmatrix}
= a11(a22a33 - a23a32) - a21(a21a33 - a23a31) + a31(a21a32 - a22a31)
= a11a22a33 + a21a23a31 + a31a21a32 - a22(a31)2 - (a21)2a33 - a11a23a32
Contoh Soal:
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 4\\
3 & 2 & 1\\
\end{bmatrix} tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama
Jawab:
det(A) = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 4\\
3 & 2 & 1\\
\end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix} 5 & 4\\2 & 1\\ \end{bmatrix} - 4\begin{bmatrix} 4 & 4\\ 3 & 1\\ \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 4 & 5\\3 & 2\\ \end{bmatrix} = 1(-3) - 4(-8) + 3(-7) = 8

[sunting] Adjoin Matriks 3 x 3

Bila ada sebuah matriks A3x3
A = \begin{bmatrix} 3&2&-1\\ 1&6&3 \\ 2&4&0\\ \end{bmatrix}
Kofaktor dari matriks A adalah
C11 = -12 C12 = 6 C13 = -8
C21 = -4 C22 = 2 C23 = -8
C31 = 12 C32 = -10 C33 = 8
maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah
\begin{bmatrix} -12&6&-8\\ -4&2&-8\\ 12&-10&8\\ \end{bmatrix}
untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom
adj(A) = \begin{bmatrix} -12&-4&12\\ 6&2&-10\\ -8&-8&8\\ \end{bmatrix}

[sunting] Determinan Matriks Segitiga Atas

Jika A adalah matriks segitiga nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka det(A) adalah hasil kali diagonal matriks tersebut
det(A) = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}
Contoh
\begin{bmatrix} 2&7&-3&8&3\\ 0&-3&7&5&1\\ 0&0&6&7&6\\ 0&0&0&9&8\\ 0&0&0&0&4\\ \end{bmatrix} = (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296

[sunting] Metode Cramer

jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik
X_{1} =  \frac{det(A_{1})} {det(A)},  X_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)}, ... ,  X_{n} = \frac{det(A_{n})} {det(A)}
dimana A j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom j dengan matrik b
Contoh soal:
Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini
x1 + 2x3 = 6
-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30
-x1 - 2x2 + 3x3 = 8
Jawab:
bentuk matrik A dan b
A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2\\
-3 & 4 & 6\\
-1 & -2 & 3\\
\end{bmatrix} b = \begin{bmatrix} 6\\ 30\\ 8\\ \end{bmatrix}
kemudian ganti kolom j dengan matrik b
A1 = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 2\\ 30 & 4 & 6\\ 8 & -2 & 3\\ \end{bmatrix} A2 = \begin{bmatrix} 1 & 6 & 2\\ -3 & 30 & 6\\ -1 & 8 & 3\\ \end{bmatrix} A3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 6\\ -3 & 4 & 30\\ -1 & -2 & 8\\ \end{bmatrix}
dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas
maka,
 x_{1} = \frac{det(A_{1})} {det(A)} = \frac{-40} {44} = \frac{-10} {11}
 x_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)} = \frac{72} {44} = \frac{18} {11}
 x_{3} = \frac{det(A_{3})} {det(A)} = \frac{152} {44} = \frac{38} {11}

R=Er...E2 E1 A
dan,
det(R)=det(Er)...det(E2)det(E1)det(EA)
Jika A dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka R = I, jadi det(R) = 1 ≠ 0 dan det(A) ≠ 0. Sebaliknya, jika det(A) ≠ 0, maka det(R) ≠ 0, jadi R tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I, maka A adalah dapat di-invers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers.
Contoh Soal :
A=\begin{bmatrix}
 1 &  2 &  3\\
 1 &  0 &  1\\
 2 &  4 &  6\\
\end{bmatrix}
karena det(A) = 0. Maka A adalah dapat diinvers.

[sunting] Mencari determinan dengan cara Sarrus

A = \begin{bmatrix}     
a & b & c\\
d & e & f\\
g & h & i\\ 
\end{bmatrix} tentukan determinan A
untuk mencari determinan matrik A maka,
detA = (aei + bfg + cdh) - (bdi + afh + ceg)

[sunting] Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3

[sunting] Menghitung Inverse dari Matrix 3 x 3

A = \begin{bmatrix}
 3 &  2 & -1\\
 1 &  6 &  3\\
 2 & -4 &  0\\
\end{bmatrix}
kemudian hitung kofaktor dari matrix A
C11 = 12 C12 = 6 C13 = -16
C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16
C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16
menjadi matrix kofaktor
\begin{bmatrix}
 12 &  6  & -16\\
 4  &  2  &  16\\
 12 & -10 &  16\\
\end{bmatrix}
cari adjoint dari matrix kofaktor tadi dengan mentranspose matrix kofaktor di atas, sehingga menjadi
adj(A) = \begin{bmatrix}
 12 &  4 &  12\\
  6 &  2 & -10\\
-16 & 16 &  16\\
\end{bmatrix}
A^{-1} = \frac{1}{det(A)}adj(A)
dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A
\mathit{det(A) = 64}
A^{-1} = \frac{1}{det(A)}adj(A) = \frac{1}{64} \begin{bmatrix}
 12 &  4 &  12\\
  6 &  2 & -10\\
-16 & 16 &  16\\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
 \frac{12}{64} & \frac{4}{64}  &  \frac{12}{64}\\
 \frac{6}{64}  & \frac{2}{64}  & -\frac{10}{64}\\
-\frac{16}{64} & \frac{16}{64} &  \frac{16}{64}\\
\end{bmatrix}

10 comments: